Question

18．已知单位向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{CD}$|的值．

Answer 1

分析 分别求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的模，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角，以及$\overrightarrow{CD}$，从而求出|$\overrightarrow{CD}$|的值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）-（-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$，
而|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${（3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-24$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+16${\overrightarrow{b}}^{2}$=25-24×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=25-12$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{25-12\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查向量求模问题，是一道中档题．