Question

7．设公差不等于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=30，a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{20}}{a_{21}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则d≠0，
∵S₅=30，a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=30}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2，（其中d=0舍去），
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{20}}{a_{21}}}}$=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+$…+$（\frac{1}{20}-\frac{1}{21}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{21}）$
=$\frac{5}{21}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．