(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆 上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 是否存在满足的点? 若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标); 若不存在,说明理由.
(1) (2) 满足条件的点有两个
解析试题分析:(1) 解法1:设椭圆的方程为,
依题意: 解得:
∴ 椭圆的方程为.
解法2:设椭圆的方程为,
根据椭圆的定义得,即,
∵, ∴.
∴ 椭圆的方程为.
(2)解法1:设点,,则,
,
∵三点共线,
∴.
∴,
化简得:. ①
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,即. ②
同理,抛物线在点处的切线的方程为 . ③
设点,由②③得:,
而,则 .
代入②得 ,
则,代入 ① 得 ,即点的轨迹方程为.
若 ,则点在椭圆上,而点又在直线上,
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件 的点有两个.
解法2:设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵
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已知椭圆的两焦点是F1(0,-1),F2(0,1),离心率e=
(1)求椭圆方程;(2)若P在椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求cos∠F1PF2。
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已知椭圆的右焦点为,离心率为。
(1)若,求椭圆的方程。
(2)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点。若坐标原点在以线段为直径的圆上,且,求的取值范围。
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(满分13分)
(1)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,求三棱锥的体积.
(2)过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点. 用表示A,B之间的距离;
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(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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(本小题共12分)
如图,已知直线l与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,
定点B的坐标为(2,0).
(1)若动点M满足,求点M的轨迹C;
(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知点在椭圆C: 上,且椭圆C的离心率.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点作直线交椭圆C于点A.B.△ABQ的垂心为T,是否存在实数m ,使得垂心T在y轴上.若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求
面积的最大值.
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