Question

17．已知某射手射击一次，击中目标的概率是$\frac{2}{5}$．
（1）求连续射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）求连续射击5次，击中目标的次数X的数学期望和方差．
（3）假设连续2次未击中目标，则中止其射击，求恰好射击5次后，被中止射击的概率．（本题结果用分数表示即可）．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件的概率公式，求连续射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B（5，$\frac{2}{5}$），利用二项分布的数学期望和方差公式，求连续射击5次，击中目标的次数X的数学期望和方差．
（3）设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，可得结论．

解答 解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则P（A）=${C}_{5}^{3}•（\frac{2}{5}）^{3}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{144}{625}$．
答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为$\frac{144}{625}$．
（2）X～B（5，$\frac{2}{5}$），E（X）=5×$\frac{2}{5}$=2；V（X）=5×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{10}{9}$$\frac{6}{5}$
（3）设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则P（C）=[1-$（\frac{3}{5}）^{2}$]$•\frac{2}{5}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{288}{3125}$．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为$\frac{288}{3125}$．

点评 本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的数学期望和方差、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．