Question

2．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N^*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．
（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求f（n）．

Answer 1

分析 （1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；
（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=C_U（A∪B）之一中，求出这n个元素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）可求．

解答 解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；
（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=C_U（A∪B）之一中，
则这n个元素在集合A，B，C中，共有3ⁿ种；
其中A为空集的种数为2ⁿ，B为空集的种数为2ⁿ，
∴A，B均为非空子集的种数为3ⁿ-2ⁿ⁺¹+1，
又（A，B）与（B，A）为一组“互斥子集”，
∴f（n）=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-{2}^{n+1}+1）$．

点评 本题是新定义题，考查交、并、补集的混合运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．