Question

14．已知函数满足一下两个条件：①任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂时，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；②对定义域内任意x有f（x）+f（-x）=0，则符合条件的函数是（　　）

• A． f（x）=2x
• B． f（x）=1-|x|
• C． $f（x）=\frac{1}{x}-x$
• D． f（x）=ln（x+1）

Answer 1

分析 由①可知f（x）在（0，+∞）上是减函数，由②可知f（x）是奇函数．逐个分析各选项是否符合两条件即可．

解答 解：由①可知f（x）在（0，+∞）上是减函数，由②可知f（x）是奇函数．
对于A，f（x）=2x是增函数，不符合题意；
对于B，f（-x）+f（x）=1-|-x|+1-|x|=2-2|x|≠0，不符合题意，
对于D，f（x）的定义域为（-1，+∞），故f（x）不是奇函数，不符合题意；
故选C．

点评 本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．