Question

（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为为实数），x∈R．

   （1）若函数f（x）的最小值是f（－1）=0，求f（x）的解析式；

   （2）在（1）的条件下，f（x）>x+k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围；

   （3）若a>0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn<0，m+n>0，定义函数

，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．

Answer 1

（1）x2+2x+1     （2）（－∞，1）    （3）略

解析:

（1）由已知a－b+1=0，且－=－1，解得a=1，b=2，

∴函数f（x）的解析式是f（x）=x2+2x+1；

   （2）在（1）的条件下，f（x）>x+k，即x2+x+1－k>0，

从而k<x2+x+1在区间[－3，－1]上恒成立，

此时函数y= x2+x+1在区间[－3，－1]上是减函数，且其最小值为1，

∴k的取值范围为（－∞，1）；

   （3）∵f（x）是偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，

由mn<0知m、n异号，不妨设m>0，则n<0，又由m+n>0得m>－n>0，

F（m）+F（n）=f（m）－f（n）=am2+1－（an2+1）=a（m2－n2），

由m>－n>0得m2>n2，又a>0，得F（m）+F（n）>0，

∴F（m）+F（n）的值为正．