Question

18．如图，它满足（1）第n行首尾两数均为n，
（2）表中每行由n开始逐渐变大，然后变小，回到n，除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第n行第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字与第k个数字的和）．
那么第19行的第2个数比第18行的第2个数大18；第n行（n≥2）第2个数是$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

Answer 1

分析 依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答 解：把第n行（n≥2）第2个数记为a_n，
则由题意可知a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11，
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a₅-a₄=4…a_n-a_n-1=n-1，
以上n-1个等式相加得，a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$，
所以a_n=2+$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$（n≥2），
故答案为：18；$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

点评 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．