Question

7．如图所示，流程图给出了无穷等差整数列{a_n}满足的条件，a₁∈N₊，且当k=5时，输出的S=-$\frac{5}{9}$，当k=10时，输出的S=-$\frac{10}{99}$．（其中d为公差）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在最小的正数m，使得?n∈N₊，都有T≤m成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由图表结合裂项相消法求得S_k，再由已知可得a₁a₆=-9且a₁a₁₁=-99，求出首项和公差后得答案；
（2）由图表可得T_k，然后利用错位相减法求得T_k，得到${T}_{k+1}-{T}_{k}=\frac{9-2k}{{2}^{k}}$，可得：$（{T}_{k}）_{max}={T}_{5}=\frac{227}{16}$，即m=$\frac{227}{16}$．

解答 解：（1）根据框图：
${S}_{k}=\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{k}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=$\frac{k}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$．
∴有a₁a₆=-9且a₁a₁₁=-99，
解得a₁=9，d=-2，
∴a_n=11-2n．
（2）事实上，${T_k}={a_1}•{2^0}+{a_2}•{2^{-1}}+{a_3}•{a^{-2}}+…+{a_k}•{2^{1-k}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{k}={a}_{1}•{2}^{-1}+{a}_{2}•{2}^{-2}+…+{a}_{k}•{2}^{-k}$，
两式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{k}={a}_{1}+d（{2}^{-1}+{2}^{-2}+…+{2}^{1-k}）-{a}_{k}•{2}^{-k}$，
∴${T}_{k}=14+\frac{2k-7}{{2}^{k-1}}$，
从而${T}_{k+1}-{T}_{k}=\frac{9-2k}{{2}^{k}}$，
得：$（{T}_{k}）_{max}={T}_{5}=\frac{227}{16}$，即m=$\frac{227}{16}$．

点评 本题考查程序框图，考查学生读取图表的能力，训练了裂项相消法和错位相减法求数列的前n项和，属中高档题．