Question

18．已知函数y=2sin²x+mcosx-$\frac{1}{8}$．
（1）当m=-1且-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$时，求函数值域；
（2）当x∈R时，试讨论函数最大值．

Answer 1

分析 （1）当m=-1时y=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+2，由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$可得-$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，由二次函数区间的最值可得；
（2）可得y=-2（cosx-$\frac{m}{4}$）²+$\frac{{m}^{2}+15}{8}$，cosx∈[-1，1]，由二次函数区间的最值分类讨论可得．

解答 解：（1）当m=-1时，y=2sin²x+mcosx-$\frac{1}{8}$
=2sin²x-cosx-$\frac{1}{8}$=2（1-cos²x）-cosx-$\frac{1}{8}$
=-2cos²x-cosx+$\frac{15}{8}$=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+2
∵-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，
由二次函数可知当cosx=-$\frac{1}{4}$时，y取最大值2，
当cosx=1时，y取最小值-$\frac{9}{8}$，
故函数的值域为：[-$\frac{9}{8}$，1]；
（2）配方可得y=-2cos²x+mcosx+$\frac{15}{8}$=-2（cosx-$\frac{m}{4}$）²+$\frac{{m}^{2}+15}{8}$，
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，由二次函数区间的最值可知：
当$\frac{m}{4}$＜-1即m＜-4时，在cosx=-1时，y取最大值-m-$\frac{1}{8}$；
当$\frac{m}{4}$＞1即m＞4时，在cosx=1时，y取最大值m-$\frac{1}{8}$；
当-1≤$\frac{m}{4}$≤1即-4≤m≤4时，在cosx=$\frac{m}{4}$时，y取最大值$\frac{{m}^{2}+15}{8}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值和分类讨论思想，属中档题．