Question

7．根据下列条件，判断△ABC的形状：
（1）sinA：sinB：sinC=2：3：4；
（2）B=60°，b²=ac．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，设a=2x，则b=3x，c=4x，由余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{4}$＜0，解得：C∈（$\frac{π}{2}$，π），可得△ABC为钝角三角形．
（2）由余弦定理且B=60°得b²=a²+c²-ac，再由b²=ac，得a²+c²-ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形状是等边三角形

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=2：3：4；
∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，设a=2x，则b=3x，c=4x，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{x}^{2}+9{x}^{2}-16{x}^{2}}{2×2x×3x}$=-$\frac{1}{4}$＜0，
∵C∈（0，π），可得：C∈（$\frac{π}{2}$，π），
可得△ABC为钝角三角形．
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，又b²=ac，
∴a²+c²-ac=ac，∴（a-c）²=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，
∴△ABC的形状是等边三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，用到正弦定理，余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好，属于中档题．