Question

函数f（x）=cos（2x-

π

4

）+

2

sinxcosx+

2

2

-

2

sin²x，下列结论中正确的有（　　）
①f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②直线x=

3π

8

是函数f（x）的一条对称轴；
③f（x）在区间（0，

π

2

）上是单调增函数；
④f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和差的正弦余弦公式和倍角公式可得函数f（x）=2sin(2x+

π

4

)．再利用三角函数的图象与性质即可判断出．

解答： 解：函数f（x）=cos（2x-

π

4

）+

2

sinxcosx+

2

2

-

2

sin²x
=

2

2

cos2x+

2

2

sin2x+

2

2

sin2x+

2

2

-

2 (1-cos2x)

2

=

2

cos2x+

2

sin2x
=2sin(2x+

π

4

)．
∴T=

2π

2

=π，因此①正确；
sin(2×

3

8

π+

π

4

)=sinπ=0，因此直线x=

3π

8

不是函数f（x）的一条对称轴，②不正确；
由x∈(0，

π

2

)可知：

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

，可知f（x）在区间（0，

π

2

）上不是单调增函数，因此③；
f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故④正确．
综上可得：只有①④正确．
故选：B．

点评：本题考查了两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．