Question

式子（x²-x+2）¹⁰的二项式展开式中，x³项的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x³项的系数．

解答： 解：式子（x²-x+2）¹⁰ =[（x²-x）+2]¹⁰ 的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 10

•（x²-x）^10-r•2^r，
对于（x²-x）^10-r，它的通项公式为T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 10-r

•x^20-2r-r′，
其中，0≤r′≤10-r，0≤r≤10，r、r′都是自然数．
令20-2r-r′=3，可得

r=7 r′=3

，或

r=8 r′=1

，
故x³项的系数为

C

7 10

•2⁷•（-1）³+（-1）•

C

8 10

•2⁸•

C

1 2

=-30×2⁹ -45×2⁹=-38400，
故答案为：-38400．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．