Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，

π

6

]求函数f（x）的值域；
（3）求函数y=f（x）的图象左移

π

2

个单位后得到的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由函数的周期求出ω=2，再把点M（

2π

3

，-2）代入函数的解析式求出A，从而求得f（x）的解析式．
（2）由x∈[0，

π

6

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，由此可得函数的值域．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．

解答：解：（1）由题意可得函数的最小正周期为

2π

ω

=

π

2

×2，∴ω=2．
故函数f（x）=Asin（2x+

π

6

），再把点M（

2π

3

，-2）代入可得Asin（

3π

2

）=-2，∴A=2，
故f（x）的解析式为 f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）由x∈[0，

π

6

]，则 2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，
f（x）∈[1，2]，即函数f（x）的值域为[

1

2

，1]．
（3）函数y=f（x）的图象左移

π

2

个单位后得到的图象对应的函数解析式为y=2sin [2(x+

π

2

)+

π

6

]
=-2sin(2x+

π

6

)．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．