Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的动点，且AM=λAB₁，N是CC₁的中点．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求证：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的正弦值为

3 14

，试求λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点E，连结ME，CE，证明MN∥CE，利用AA₁⊥面ABC，即可证明MN⊥AA₁；
（Ⅱ）以AB，AA₁为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系，求出平面ABN的法向量，利用直线MN与平面ABN所成角的正弦值为

3 14

，即可求λ的值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点E，连结ME，CE，则有ME与NC平行且相等．
∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE             …（2分）
∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE，∴MN⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）解：以AB，AA₁为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如图，B（1，0，0），N（

1

2

，

3

2

，1），B₁（1，0，2），M（λ，0，2λ），

MN

=（

1

2

-λ，

3

2

，1-2λ），

AB

=（1，0，0），

AN

=（

1

2

，

3

2

，1）
…（6分）
设

n1

=（x，y，z）是平面ABN的一个法向量，则

n1 • AB =0 n1 • AN =0

∴

x=0 1 2 x+ 3 2 y+z=0

∴

x=0 z=- 3 2 y

，令y=1，∴

n1

=（0，1，-

3

2

）…（8分）
设MN与面ABN所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

MN

，

n1

＞|=

3 2 + 3 2 (2λ-1)

( 1 2 -λ)2+ 3 4 +(1-2λ)2 1+ 3 4

=

3 14

…（10分）

λ

5λ2-5λ+2 - 7 2

=

1

14

，化简得3λ²+5λ-2=0，λ=-2或λ=

1

3

，
由题意知λ＞0，∴λ=

1

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．