Question

6．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=$\sqrt{3}$，平面EDCF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；
（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{DF}$，根据$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{n}$=0证明$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{n}$；从而证明DF∥平面ABE；
（Ⅱ）求平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DF}$，λ∈[0，1]，求向量$\overrightarrow{BP}$与平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$所成角的余弦值，列出方程解方程得λ的值，从而求出|$\overrightarrow{BP}$|的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示；
则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F（-1，2，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，-2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y+\sqrt{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，
不妨设$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
又$\overrightarrow{DF}$=（-1，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{3}$+0+$\sqrt{3}$=0，
∴$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{n}$；
又∵DF?平面ABE，
∴DF∥平面ABE；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{BE}$=（-1，-2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
则$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，4），
∴|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10}{2×\sqrt{31}}$=$\frac{5\sqrt{31}}{31}$，
∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是$\frac{5\sqrt{31}}{31}$；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DF}$=λ（-1，2，$\sqrt{3}$）=（-λ，2λ，$\sqrt{3}$λ），λ∈[0，1]；
∴P（-λ，2λ，$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{BP}$=（-λ-1，2λ-2，$\sqrt{3}$λ），
又平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{n}$＞|
=|$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BP}|×|\overrightarrow{n}|}$|
=$\frac{|\sqrt{3}（-λ-1）+\sqrt{3}λ|}{\sqrt{{（-λ-1）}^{2}{+（2λ-2）}^{2}{+（\sqrt{3}λ）}^{2}}×2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
化简得8λ²-6λ+1=0，
解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$\frac{1}{4}$；
当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴|$\overrightarrow{BP}$|=2；
当λ=$\frac{1}{4}$时，$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），∴|$\overrightarrow{BP}$|=2；
综上，|$\overrightarrow{BP}$|=2．

点评 本题考查了利用向量方法解决立体几何的应用问题，确定平面的法向量是解题的关键．