Question

17．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-y≥0\\ x≥0\end{array}$，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$展开式的常数项为240．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．

解答 解：由约束条件x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-y≥0\\ x≥0\end{array}$，作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），
化目标函数z=x+2y为y=-$\frac{x}{2}$+$\frac{z}{2}$，由图可知，当直线y=-$\frac{x}{2}$+$\frac{z}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．
则${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$=$（{x-\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{6}$．
由T_r+1=${C}_{6}^{r}$（-2）^r•${x}^{6-r-\frac{r}{2}}$．
令6-$\frac{3}{2}r$=0得r=4．
∴则$（x-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展开式的常数项为${C}_{6}^{4}（-2）^{4}$=240．
故答案为：240．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．