Question

18．已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且1，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+2），求证：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由1，a_n，S_n成等差数列，可得2a_n=S_n+1，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得b_n=4n（n+1），$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，再利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 （1）解：∵1，a_n，S_n成等差数列，∴2a_n=S_n+1，
当n=1时，2a₁=S₁+1，∴a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（2）证明：b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=log₂2^2n+1-1×log₂2^2n+3-1=4n（n+1），
$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
$\begin{array}{l}\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]\\=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{1}{4}（n∈{N^*}）\end{array}$
即$\frac{1}{b1}$+$\frac{1}{b2}$+$\frac{1}{b3}$+…+$\frac{1}{bn}$＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系与等比数列的通项公式、对数的运算性质、裂项求和方法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．