Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（{1，-3}），\overrightarrow b=（{-2，6}）$，若向量 $\overrightarrow c$与 $\overrightarrow a$的夹角为60°，且$\overrightarrow c•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=-10$，则$|{\overrightarrow c}|$=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{c}$=（x，y），根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（{1，-3}），\overrightarrow b=（{-2，6}）$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，3），
设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵$\overrightarrow c•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=-10$，
∴-x+3y=-10，
即x-3y=10，
∵$\overrightarrow c$与 $\overrightarrow a$的夹角为60°，
∴cos60°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{x-3y}{\sqrt{10}•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1}{2}$
解得|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{10}$
故答案为：$2\sqrt{10}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的夹角公式，属于中档题