Question

19．已知函数f（x）=2|x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若 a=1，求不等式 f（x）≥5的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为3，求实数 a的值．

Answer 1

分析 （1）把f（x）写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式 f（x）≥5的解集，综合可得结论．
（2）分当a=-1时、当a＞-1时、当a＜-1时三种情况，分别求得a的值，综合可得结论．

解答 解：（1）当 a=1，$f（x）=2|{x+1}|+|{x-1}|=\left\{\begin{array}{l}3x+1，x≥1\\ x+3，-1＜x＜1\\-3x-1，x≤-1\end{array}\right.$，当x≥1时，3x+1≥5，即$x≥\frac{4}{3}$，∴$x≥\frac{4}{3}$；
当-1＜x＜1时，x+3≥5，即x≥2，此时x无实数解；
当x≤-1时，-3x-1≥5，即x≤-2，∴x≤-2．
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-2，或 $\left.{x≥\frac{4}{3}}\right\}$．
（2）当a=-1时，f（x）=3|x+1|最小值为 0，不符合题意，
当a＞-1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x+2-a，x≥a\\ x+2+a，-1＜x＜a\\-3x-2+a，x≤-1\end{array}\right.$，∴f（x）_min=f（-1）=1+a=3，此时a=2； 
当a＜-1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x+2-a，x≥-1\\-x-2-a，a＜x＜-1\\-3x-2+a，x≤a\end{array}\right.$，f（x）_min=f（-1）=-1-a=3，此时a=-4．
综上所示，a=2或a=-4．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，分段函数的应用，体现了分类讨论数学思想，属于中档题．