Question

11．已知函数f（x）=e^x[x²+（a+1）x+2a-1]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤e^a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=e^x（x²-3），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤e^a在[a，+∞）上有解，即e^x[x²+（a+1）x+2a-1]≤e^a，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x²+（a+1）x+2a-1，t（x）=e^a-x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；
（3）由f（x）的导数f′（x）=e^x（x+3）（x+a），当a≠-3时，函数y=f′（x）的图象与x轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x（x²-3），
则f′（x）=e^x（x²+2x-3），
令f′（x）＞0得x＞1或x＜-3；令f′（x）＜0得-3＜x＜1．
∴函数f（x）的单调增区间（-∞，-3）与（1，+∞），单调递减区间是（-3，1）；
（2）f（x）≤e^a，即e^x[x²+（a+1）x+2a-1]≤e^a，可变为x²+（a+1）x+2a-1≤e^a-x，
令r（x）=x²+（a+1）x+2a-1，t（x）=e^a-x，
当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，
故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，
欲使x²+（a+1）x+2a-1≤e^a-x有解，
则只须r（a）≤t（a），即2a²+3a-1≤1，
解得-2≤a≤$\frac{1}{2}$，故0＜a≤$\frac{1}{2}$；
当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为x=-$\frac{a+1}{2}$，
故当-$\frac{1}{3}$＜a≤0时，r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，
则r（a）≤t（a），即2a²+3a-1≤1，解得-2≤a≤$\frac{1}{2}$，
故-$\frac{1}{3}$＜a≤0成立；
当a≤-$\frac{1}{3}$时，r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，
欲使x²+（a+1）x+2a-1≤e^a-x有解，只须r（-$\frac{a+1}{2}$）≤t（-$\frac{a+1}{2}$），
即$\frac{4（2a-1）-（a+1）^{2}}{4}$≤e${\;}^{\frac{3a+1}{2}}$，
当a≤0时，显然成立．
综上知，-$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{1}{2}$即为符合条件的实数a的取值范围；
（3）由f（x）的导数f′（x）=e^x[x²+（a+3）x+3a]=e^x（x+3）（x+a），
当a≠-3时，函数y=f′（x）的图象与x轴有两个交点，
故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．
则a的取值范围是{a|a≠-3，a∈R}．

点评 本题考查导数的综合运用，利用导数研究函数的单调性，以及存在性问题求参数的范围，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，属于导数运用的一类典型题．