Question

16．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n-1对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1，确定数列的公比与首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错误相减法求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-1，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n+1+a_n=9•2^n-1，
∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{18}{9}$=2  
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴a_n=3•2^n-1．  n∈N^*．
（Ⅱ）b_n=na_n=3n•2^n-1．
∴S_n=3×1×2⁰+3×2×2¹+…+3（n-1）×2^n-2+3n×2^n-1，
∴$\frac{1}{3}$S_n=1×2⁰+2×2¹+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
∴$\frac{2}{3}$S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-$\frac{1}{3}$S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n×2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴S_n=3（n-1）2ⁿ+3，
∵S_n＞ka_n-1对一切n∈N^*恒成立，
∴k＜$\frac{{S}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{3（n-1）{2}^{n}+4}{3•{2}^{n-1}}$=2（n-1）+$\frac{4}{3•{2}^{n-1}}$，
令f（n）=2（n-1）+$\frac{4}{3•{2}^{n-1}}$，
∴f′（n）=2+$\frac{8ln2}{3}$•（$\frac{1}{2}$）ⁿ＞0，
∴f（n）随n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（1）=$\frac{4}{3}$，
∴实数k的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．