Question

6．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF平行且等于2CE，G是线段BF上的一点，AB=AF=BC=2．
（1）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；
（2）求二面角E-BF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点D，连接GD，CD，利用中位线定理证明四边形CEGD是平行四边形，从而EG∥CD，得出EG∥平面ABC；
（2）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 （1）证明：取AB的中点D，连接GD，CD，
∵G是FB的中点，D是AB的中点，
∴GD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AF，又CE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AF，
∴GD$\stackrel{∥}{=}$CE，
∴四边形CEGD是平行四边形，
∴EG∥CD，又CD?平面ABC，GE?平面ABC，
∴EG∥平面ABC．
（2）解：∵AF⊥AC，平面ACEF⊥平面ABC，平面ACEF∩平面ABC=AC，AF?平面ACEF，
∴AF⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴AF⊥BC，又AB⊥BC，AF∩AB=A，
∴BC⊥平面ABF，
以B为原点，以BC为x轴，以BA为y轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则B（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，2），
∴$\overrightarrow{BE}$=（2，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，2），
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+z=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
又BC⊥平面ABF，∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面ABF的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•3}$=$\frac{1}{3}$，
∵二面角E-BF-A为锐二面角，
二面角E-BF-A的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．