Question

17．如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面
ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 （I）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面ABCD得出ED⊥AB，故而AB⊥平面ADEF，从而平面ABE⊥平面EBD；
（II）建立空间坐标系，设$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$，求出两平面的法向量，令法向量的夹角余弦值的绝对值等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解出λ即可得出结论．

解答 （I）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，
∴ED⊥AD，
∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴BD=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD，
又BD?平面BDE，ED?平面BDE，BD∩ED=D，
∴AB⊥平面BDE，又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EBD．
（II）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则A（1，0，0），B（0，0，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，2），
F（1，0，1），则$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），
设$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$=（λ，-$\sqrt{3}$λ，-λ）（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=（λ，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}λ$，2-λ），
设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面ABM的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}=0}\\{2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{λ{x}_{2}+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）{y}_{2}+（2-λ）{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），令y₂=2-λ得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，2-λ，$\sqrt{3}λ-\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2-λ}{2\sqrt{4{λ}^{2}-10λ+7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．