Question

5． 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，AD=AP=2，AB=DP=2$\sqrt{2}$，E为CD的中点，点F在线段PB上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；      
（Ⅱ）当三棱锥B-EFC的体积等于四棱锥P-ABCD体积的$\frac{1}{6}$时，求$\frac{PF}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理的逆定理证明AD⊥AP，AC⊥BC，从而AD⊥平面PAC，于是AD⊥PC；
（II）利用面面垂直的性质证明PA⊥平面ABCD，根据棱锥的体积关系得出F到平面ABCD的距离，从而得出$\frac{PF}{PB}$的值．

解答 （I）证明：连接AC，∵BC=AD=2，AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴AC=$\sqrt{4+8-2×2×2\sqrt{2}×cos45°}$=2，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2，DP=2$\sqrt{2}$，∴AD⊥AP，
又AP?平面APC，AC?平面APC，AP∩AC=A，
∴AD⊥平面PAC，又PC?平面APC，
∴AD⊥PC．
（II）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，
侧面PAD∩底面ABCD=AD，AD⊥PA，PA?平面PAD，
∴PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}PA$，
设F到平面ABCD的距离为h，则
V_B-CEF=V_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{S}_{四边形ABCD}•h$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{S}_{四边形ABCD}•h$=$\frac{1}{6}$V_P-ABCD=$\frac{1}{6}•$$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}PA$，
∴h=$\frac{2}{3}PA$，
∴$\frac{FB}{PB}$=$\frac{h}{PA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PF}{PB}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．