Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面BDM．
（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；
（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 作AD边上的高PO，由已知结合面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，再由ABCD是矩形，得到CD⊥PD，求解直角三角形可得CD．以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$．
（1）设PC与面BDM所成的角为θ，由sinθ=|$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{n}|}$求得直线PC与平面BDM所成角的正弦值．
（2）求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{CD}=（0，-3，0）$，由两平面法向量所成角的余弦值求得平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．

解答 解：∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，作AD边上的高PO，
∵面PAD∩面ABCD=AD，由面面垂直的性质定理，得PO⊥面ABCD，
又ABCD是矩形，同理可得CD⊥面PAD，知CD⊥PD，
∵PC=$\sqrt{13}$，PD=2，∴CD=3．
以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），D（-1，0，0），
连结AC交BD于点N，由PA∥面MBD，面APC∩面MBD=MN，
∴MN∥PA，又N是AC的中点，
∴M是PC的中点，则M（$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{BD}=（-2，-3，0）$，$\overrightarrow{MD}=（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2x-3y=0}\\{\frac{x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，解得y=-$\frac{2}{3}$，z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，得$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
（1）设PC与面BDM所成的角为θ，则$sinθ=|\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}|=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴直线PC与平面BDM所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
（2）面PAD的法向量为向量$\overrightarrow{CD}=（0，-3，0）$，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为φ，
则cosφ=$|\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}|=\frac{1}{2}$，
故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面角与二面角的求法，训练了利用空间向量求解线面角及二面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，属中档题．