Question

已知函数f（x）=sinx+5x-1，x∈（-1，1）．如果f（1-a）+f（1-a²）＜-2，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设g（x）=sinx+5x，且x∈（-1，1），判断出它的奇偶性和单调性，将f（x）=g（x）-1代入f（1-a）+f（1-a²）＜-2，再将不等式转化g（1-a）＜-g（1-a²）=g（a²-1），结合函数g（x）的单调性，以及函数的定义域列出具体的不等式求解．

解答： 解：设g（x）=sinx+5x，且x∈（-1，1），
则g（-x）=sin（-x）-5x=-g（x），
所以g（x）=sinx+5x是奇函数，且在（-1，1）上是单调递增函数，
由f（x）=sinx+5x-1得，f（x）=g（x）-1，
所以f（1-a）+f（1-a²）＜-2，化为g（1-a）-1+g（1-a²）-1＜-2，
即g（1-a）+g（1-a²）＜0，
因为g（x）=sinx+5x在（-1，1）上是单调递增函数，
所以g（1-a）+g（1-a²）＜0等价于g（1-a）＜-g（1-a²）=g（a²-1），
则

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＞1-a2

，解得1＜a＜

2

，
故a的取值范围是（1，

2

），
故答案为：（1，

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及构造函数思想，灵活运用函数的单调性去掉不等式中的符号“f”是解决本题的关键，注意函数的定义域．