Question

9．已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求证：BC∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．构建线面垂直：BC⊥平面AGP．根据线面垂直的性质证得结论；
（2）利用三角形中位线定理推知EF∥AP．结合已知条件得到PA⊥DE． 因为PA⊥BC，BC、DE是平面ABC内两条直线，如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．
故BC∥DE．最后根据线面平行的判定定理得到结论．

解答 （1）证明：设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．
∵AB=AC，PB=PC，
∴AG⊥BC，PG⊥BC，
∵AG、PG是平面AGP内的两条相交线，
∴BC⊥平面AGP．
∵PA?平面AGP，
∴PA⊥BC．
（2）证明：∵E、F分别是线段AC、PC的中点，
∴EF∥AP．
∵DE⊥EF，
∴PA⊥DE．                         
因为PA⊥BC，BC、DE是平面ABC内两条直线，
如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．
∴BC∥DE．          
又BC?平面DEF，DE?平面DEF，
∴BC∥平面DEF．

点评 本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．