Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求f（x）＜4的解集；
（2）若f（x）≥|3m-1|对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件根据绝对值的意义，求得f（x）＜4的解集．
（2）由题意可得|3m-1|≤f（x）_min，而由绝对值的意义可得f（x）_min=1，可得|3m-1|≤1，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，
而-0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于4，3.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于4，
故f（x）＜4的解集为（-0.5，3.5）．
（2）若f（x）≥|3m-1|对x∈R恒成立，则|3m-1|≤f（x）_min，
而由绝对值的意义可得f（x）_min=1，∴|3m-1|≤1，即-1≤3m-1≤1，求得0≤m≤

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点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．