Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2，M为AA₁的中点．
（1）求证直线C₁M⊥平面BCM；
（2）求二面角C₁-MC-B₁的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意知MC1=

2

，MC=

2

，C₁C=2，由勾股定理得MC₁⊥MC，从而BC⊥平面A₁C，由此能证明MC₁⊥平面BCM．
（2）由勾股定理得MB₁⊥MC，又MC₁⊥MC，从而∠B₁MC₁为所求二面角的平面角，由此能求出二面角C₁-MC-B₁的正切值．

解答： （1）证明：由题意知MC1=

2

，MC=

2

，C₁C=2，
∴MC12+MC2=C1C2，∴MC₁⊥MC，
∵BC⊥AC，BC⊥C₁C，
∴BC⊥平面A₁C，而MC₁?平面{A₁CA₁C，
∴BC⊥MC₁，又MC∩BC=C，
故MC₁⊥平面BCM．
（2）解：∵MB1=

2

，MC=

6

，B1C=2

2

，
∴MB12+MC2=B1C2，即MB₁⊥MC，
又MC₁⊥MC，∴∠B₁MC₁为所求二面角的平面角，
在Rt△B₁MC₁中，tan∠B₁MC₁=

B1C1

MC

=

2

2

=

2

．
∴二面角C₁-MC-B₁的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．