Question

【题目】设是实数，

（1）证明：f(x)是增函数；

（2）试确定的值，使f(x)为奇函数。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1

【解析】

（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；

（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案．

(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，

又由y=2x在R上为增函数，则＞0，＞0，

由x1＜x2，可得﹣＜0，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，

故f（x）为增函数，与a的值无关，

即对于任意a，f（x）在R为增函数；

（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，

必有有f（﹣x）=﹣f（x），

即a﹣=﹣（a﹣），变形可得2a==2，

解可得，a=1，

即当a=1时，f（x）为奇函数．