Question

 设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；

(3) 设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1) f(x)＝sin²·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)

＝4sinx·＋cos2x

＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin²x＝2sinx＋1，

所以所求解析式为f(x)＝2sinx＋1.

(2) ∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，

由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，

得f(ωx)的增区间是，k∈Z.

∵f(ωx)在上是增函数，

∴.

 

(3) 由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，

即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.

∵AB，∴当≤x≤π时，

不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．

∴f(x)_max－2＜m＜f(x)_min＋2，

∵f(x)_max＝f＝3，f(x)_min＝f＝2，

∴m∈(1，4)．