Question

9．已知△ABC中，asinA+csinC-asinC=bsinB．
（1）求B；
（2）若b=$\begin{array}{l}\frac{7}{2}\end{array}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得出a²+c²-b²=ac，然后由余弦定理即可得出结果；
（2）利用三角形面积公式可求ac=6，进而利用余弦定理可得a+c=$\frac{11}{2}$，然后联立即可解得a和c的值．

解答 解：（1）∵asinA+csinC-asinC=bsinB．
∴由正弦定理知，a²+c²-ac=b²，
∴a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B∈（0°，180°），
故B=60°，
（2）∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴可得：ac=6，①
∵b=$\begin{array}{l}\frac{7}{2}\end{array}$，由余弦定理可得：（$\begin{array}{l}\frac{7}{2}\end{array}$）²=a²+c²-ac=a²+c²-6，②
∴由①②可得：a+c=$\frac{11}{2}$，③
∴联立①③可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是三角形面积公式，余弦定理和正弦定理在解三角形中的应用，灵活运用定理是解题的关键，属于基础题．