Question

已知实数a₁，a₂，…，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=144（其中a_i≥1，i=1，2，3，…n，n∈N^*且n＞2）
（Ⅰ）当n=3时，若a₁=a₂，且a₁，a₂，a₃是△ABC的三条边长，则a₃的取值范围是

 

；
（Ⅱ）如果这n个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长，则n的最大值是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列的应用,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用构成三角形的条件，即可求出a₃的取值范围；
（Ⅱ）根据这n个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长，得出a_i，即可求出n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当n=3时，a₁+a₂+a₃=144，∴144-a₃=a₁+a₂＞a₃，
∴a₃＜72，
∵a₃≥1，
∴a₃的取值范围是[1，72）；
（Ⅱ）∵这n个数中任意三个数都不能构成一个三角形的三条边长，
∴边长在1，1，2，3，5，8，13，21，34，56中取，
∴n的最大值是10．
故答案为：[1，72）；10．

点评：本题考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．