Question

椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1，F₁，F₂分别为C的左、右焦点，点A的坐标为（1，1），P是C上的任意一点，给出下列结论：
（1）|PF₁|-|PF₂|有最大值5；
（2）|PF₁||PF₂|有最大值9；
（3）|PF1|2+|PF2|2有最大值18；
（4）|PF₁|+|PA|有最小值6-

2

，
其中正确结论的序号是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（1）（4）
• D、（2）（4）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：①利用三角形两边之差小于第三边可证明当点P在x轴上时，|PF₁|-|PF₂|有最大值2c，由椭圆标准方程计算焦距即可；
②利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
③利用焦半径公式设P点横坐标为x₀，则|PF₁|²+|PF₂|²可转化为关于x0的一元函数，由x₀的范围即可求得|PF₁|²+|PF₂|²的最大值；
④由椭圆的定义结合三角形的性质，即可判断

解答： 解：（1）当P点不在x轴上时，P，F1，F2，三点构成三角形，此时|PF₁|-|PF₂|＜|F₁F₂|，
∵|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|＜4，
当P点在x轴上时，|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|≤4，即①|PF₁|-|PF₂|有最大值4，错误．
（2）∵P点在椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=6，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤9，∴|PF₁|•|PF₂|有最大值9，正确．
（3）根据椭圆方程，可得椭圆的离心率为

2

3

设P点横坐标为x₀，则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=2a²+2e²x₀²=18+

8

9

x₀²
∵P点在椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上，∴x₀²≤9，∴18+

8

9

x₀²≤26，∴PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，
∴错误，
（4）由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|+|PA|+|F₂A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₁|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₂A|=6-

2

，所以有最小值6-

2

，正确．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．