Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0，则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0，可得：当0＜x＜

π

2

时，函数f（x）单调递增；当

π

2

＜x＜π时，函数f（x）单调递减．又当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，可得出函数y=f（x）的图象．函数f（x）是偶函数，同理可得函数f（x）在[-π，0]上的图象．由于定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，可得函数f（x）在[π，3π]上的图象，再画出函数y=cosx在[0，3π]上的图象：可知函数y=f（x）-cosx在[0，3π]有且仅有3个交点，并且交点不在y轴．由函数f（x）与函数y=cosx都是偶函数，同理可得在[-3π，0）上有且仅有3个零点．

解答： 解：∵当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0，
∴当0＜x＜

π

2

时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当

π

2

＜x＜π时，f′（x）＜0，此时函数
f（x）单调递减．
又当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，可得出函数y=f（x）的图象．
∵函数f（x）是偶函数，同理可得函数f（x）在
[-π，0]上的图象．
∵定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，
∴可得函数f（x）在[π，3π]上的图象，
再画出函数y=cosx在[0，3π]上的图象：可知函数y=f（x）-cosx在[0，3π]有且仅有3个交点，并且交点不在y轴．
由函数f（x）与函数y=cosx都是偶函数，同理可得在[-3π，0）上有且仅有3个零点．
综上可知：函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为6．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、余弦函数的图象与性质、函数的奇偶性与周期性，考查了函数的零点转化为两个函数图象的交点，考查了数形结合的能力，考查了推理能力，属于难题．