Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于（　　）

• A、3

  3

• B、-3

  3

• C、

  3

  5

• D、

  - 3

  5

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意可得离心率为

1

2

，然后得到a，b，c之间的关系，进而利用这些关系表示出∠DBF、∠DFB的正切值，再根据角之间的关系表示出∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），利用正切公式即可得到答案．

解答： 解：∵离心率e=

1

2

，∴

b

a

=

3

2

，

b

c

=

3

．
由图可知，tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），∴tan∠BAO=

BO

AO

=

b

a

=

3

2

，tan∠OFC=

OC

OF

=

b

c

=

3

，
∵∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），
∴tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=-3

3

，
故选：B．

点评：解决此类问题的关键是熟悉椭圆中a，b，c之间的关系，以及图象中角与角之间的互补关系，进而得到答案．