Question

已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）满足：最大值为2，相邻两个最低点之间距离为π，将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度，所得图象关于点（

π

4

，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α∈[0，

π

2

]且f（

α

2

-

π

12

）=

8

5

，求sin（2α+

π

12

）的值；
（Ⅲ）设向量

a

=（f（x-

π

6

），1），

b

=（1，mcosx），x∈（0，

π

2

），若

a

•

b

+3≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的化简求值,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意求得A，T，进一步求得ω，由函数图象的平移得到f（x）的解析式，结合图象关于点(

π

4

，0)对称求得φ，则函数解析式可求；
（Ⅱ）把f（

α

2

-

π

12

）=

8

5

代入函数解析式求得cos(α+

π

6

)=

4

5

，由平方关系求得sin(α+

π

6

)=

3

5

．展开倍角公式得sin（2α+

π

12

）的值；
（Ⅲ）求出向量的数量积，换元后利用“三个二次”的结合列式求得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，A=2，T=π，
∴f（x）=2cos（2x+φ），
将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度，可得：
函数f(x)=2cos[2(x-

π

6

)+φ]=2cos(2x+φ-

π

3

)，此时图象关于点(

π

4

，0)对称．
则2×

π

4

+φ-

π

3

=kπ+

π

2

，
∴φ=kπ+

π

3

，k∈Z，
∵|ϕ|≤

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f(x)=2cos(2x+

π

3

)；
（Ⅱ）∵f(

α

2

-

π

12

)=

8

5

(α∈[0，

π

2

])，
∴cos(α+

π

6

)=

4

5

，
又0＜α＜

π

2

，
∴

π

6

＜α+

π

6

＜

π

2

+

π

6

=

2π

3

，
∵sin(α+

π

6

)＞0，
∴sin(α+

π

6

)=

3

5

．
∴sin(2α+

π

3

)=2sin(α+

π

6

)cos(α+

π

6

)=2•

3

5

•

4

5

=

24

25

．
又∵cos(2α+

π

3

)=2cos2(α+

π

6

)-1=

7

25

．
∴sin(2a+

π

12

)=sin(2a+

π

3

-

π

4

)=sin(2a+

π

3

)cos

π

4

-cos(2a+

π

3

)sin

π

4

=

24

25

•

2

2

-

7

25

•

2

2

=

17

50

2

；
（Ⅲ）∵

a

=（f（x-

π

6

），1），

b

=（1，mcosx），x∈（0，

π

2

），
∴

a

•

b

+3=f(x-

π

6

)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos²x+mcosx+1．
令t=cosx，则0＜t＜1，原不等式可化为4t²+mt+1≥0对一切0＜t＜1恒成立，
设函数f（t）=4t²+mt+1，0＜t＜1，其图象开口向上，
∵f（1）=4+m+1=5+m≥0时，对称轴t=-

m

8

≤

5

8

＜1，
∴只需满足△=m²-16≤0或

△＞0 - m 8 ＜0 f(1)＞0

，解得：-4≤m≤4或m＞4，
综上，m的取值范围是m≥-4．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了已知三角函数的值求另外三角函数的值，考查了数学转化思想方法，是中档题．