Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x²sinx+xcosx，x∈[

π

3

，

2π

3

]上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是（　　）

• A、

  3π

  4

• B、

  3

  2

• C、

  3 3 π

  4

  +

  3

  4

• D、

  3 3 π

  4

  -

  3

  4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：由函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=-

2b

3a

，f′（x）=3ax²-3apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（

p

2

）=

bp

2

=

3

2

（psinp+cosp），再构造函数g（x）=xsinx+cosx，运用导数求出最大值即可判断．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，
∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax³+bx²+cx，f′（x）=3ax²+2bx+c，
f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=-

2b

3a

，f′（x）=3ax²-3apx，
设A（p，q），p∈[

π

3

，

2π

3

]，q=p²sinp+pcosp=p

p2+1

sin（p+α），tanα=

1

p

＞0，且＜1，
α∈（0，

π

4

），p+α∈（

7π

12

，

11π

12

），即q＞0，f（p）＞f（0），
即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a＜0，b＞0．
∴f′（x）≤f′（

p

2

），
∵q=f（p）=ap³+bp²=p²sinp+pcosp，
∴ap²+bp=

bp

3

=psinp+cosp
即bp=3（psinp+cosp），
∴f′（

p

2

）=

bp

2

=

3

2

（psinp+cosp），p∈[

π

3

，

2π

3

]，
令g（x）=xsinx+cosx，g′（x）=xcosx，g′（x）=0，x=

π

2

，
g（x）在[

π

3

，

π

2

）上递增，在（

π

2

，

2π

3

）上递减，故g（x）在x=

π

2

处取极大值，也为最大值，
∴f′（x）≤f′（

p

2

）=

3

2

g（p）≤

3

2

g(

π

2

)=

3

2

(

π

2

sin

π

2

+cos

π

2

)=

3π

4

．
故选：A．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值、最值，同时考查构造函数求极值和最值，三角函数的化简，考查较强的运算能力和推理能力，是一道中档题．