Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明．
（2）解不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）．
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设a、b∈[-1，1]，且a＜b，结合a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，可判断出f（a）＜f（b），进而得到f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）根据（1）中结论将原不等式转化为-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1，解得答案；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，进而构造函数g（a）=-2ma+m²，可得：

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，解得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设a、b∈[-1，1]，且a＜b，
则a-b＜0，

f(a)+f(-b)

a-b

＞0
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

（a-b）＜0，
可知f（a）＜f（b），
所以f（x）在[-1，1]上是增函数．…（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）可化为：-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1
解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集为[-

1

4

，

1

2

]…（8分）
（3）因为f（x）在[-1，1]上是增函数，
所以f（x）≤f（1）=1，即1是f（x）的最大值．
若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
则有m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的图象是一条线段，
那么

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
解得：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的单调性，利用单调性解不等式，恒成立问题，是函数图象和性质与不等式的综合应用，难度中档．