Question

如图，A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．
（1）若椭圆C的离心率为

1

2

，直线l：x=4，求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由e=

1

2

，右准线l的方程为x=4，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）根据题意，可得A，M，P三点共线，MQ⊥PQ，由此可得几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答： 解：（1）由题意：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，
∴c=1，a=2，b=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（（2）设M（x，y），P（

a2

c

，β），
∵A，M，P三点共线，
∴

y

x+a

=

β

a2 c +a

，
∴β=

y( a2 c +a)

x+a

，…（9分）
由MP为圆的直径，故OP⊥BM，
即-1=k_OPk_BM=

cy( a2 c +a)

a2 (x+a)

•

y

x-a

=

y2(a+c)

a (x2-a2)

=

b2(a+c)

-a3

=

(a2-c2)(a+c)

-a3

，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，
解得e=

5 -1

2

．…（16分）

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．