Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1时函数f（x）取得极值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）先求函数的定义域，然后根据在x=1时函数f（x）取得极值求出a的值，最后根据f′（x）＜0可求出函数的减区间，f′（x）＞0可求出函数的增区间；
（II）设F（x）=f（x）-g（x），利用导数研究函数F（x）的最大值，从而可判定F（x）的符号，即可证得g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．

解答： 解：（I）由题可知，函数的定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=

1

x

+2ax-3=

2ax2-3x+1

x

，
∵x=1处函数f（x）取得极值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，当x∈（

1

2

，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调增区间为（0，

1

2

），（1，+∞），函数f（x）的单调减区间为（

1

2

，1）
（II）证明：设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F′（x）=

1-x

x

∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，从而g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．

点评：本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．