Question

求函数f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，通过讨论①当△=1+4a≤0②当△=1+4a＞0的情况，从而求出函数的单调区间．

解答： 解：函数f(x)=x+

a

x

+lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

．
①当△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

时，得x²+x-a≥0，则f′（x）≥0．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

时，令f′（x）=0得x²+x-a=0，
解得x1=

-1- 1+4a

2

＜0，x2=

-1+ 1+4a

2

．
（ⅰ） 若-

1

4

＜a≤0，则x2=

-1+ 1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)时，f′（x）＜0；
x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间(0，

-1+ 1+4a

2

)上单调递减，在区间(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为(0，

-1+ 1+4a

2

)，单调递增区间为(

-1+ 1+4a

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查分类讨论，是一道中档题．