Question

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，
（1）求a与b的值．  
（2）求函数f（x）的单调区间．  
（3）求f（x）在[-5，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由对称性知为奇函数，则求a，b；（2）由导数求单调区间；（3）由单调区间求极值，最终求出最值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，a-1=0，
∴a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-48x∴f′

x

=3x2-48，
令f′（x）=0得x=±4；
f（x）的递增区间是（-∞，-4）和（4，+∞），
f（x）的递增区间是（-4，+4）．
（3）f（-5）=165，f（-4）=128，f（0）=0，
∴f（x）_max=f（-5）=165，
f（x）_min=f（0）=0．

点评：本题综合考查了导数的应用，属于基础题．