Question

如图，一个半径为1的球O放在桌面上，桌面上的一点A₁的正上方有一光源A，AA₁与球相切，AA₁=3，球在桌面上的投影是一个椭圆C，记椭圆C的四个顶点分别为A₁、A₂、B₁、B₂．则对于下列的命题：
①若点P为椭圆C上的一个动点，则tan∠OAP=

1

2

；
②椭圆C的长轴长为4；
③若沿直线B₁B₂的方向为主视方向，则几何体A-A₁B₁A₂B₂的左视图的面积为3

2

；
④椭圆C的离心率为

1

2

其中真命题的序号为

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：球的性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA₁的截面，根据圆锥曲线的定义，可得球与长轴A₁A₂的切点是椭圆的焦点F，运用切线长定理，求出AE，AD，即可判断①；②由二倍角的正切公式，以及正切函数的定义，即可得到长轴长；求出a，c，b，即可得到几何体A-A₁B₁A₂B₂的左视图的面积为

1

2

×3×2

3

=3

3

，即可判断③；由椭圆的离心率公式，即可判断④．

解答： 解如图是过锥体的轴与椭圆长轴A₁A₂的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴A₁A₂的切点是椭圆的焦点F，OE=OF=1，A₁E=A₁F=1，AA₁=3，
AE=2，AD=2，
对于①，tan∠OAP=tan∠OAD=

OD

AD

=

1

2

，故①对；
对于②，tan∠A₁AA₂=tan2∠OAD=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

，
A₁A₂=AA₁•tan∠A₁AA₂=3×

4

3

=4，故②对；
对于③由于2a=4，a=2，a-c=1，c=1，b²=a²-c²=3，b=

3

，
若沿直线B₁B₂的方向为主视方向，则几何体A-A₁B₁A₂B₂的左视图的面积为

1

2

×3×2

3

=3

3

，故③错；
对于④椭圆C的离心率为e=

c

a

=

1

2

，故④对．
故答案为：①②④．

点评：本题以中心投影及中心投影作图法，考查了椭圆的简单性质，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．