Question

已知函数f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f（-x）=-f（x），所以f（-x）+f（x）=0，所以f(

1

2012

)+f(-

1

2012

)=0；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域，求f′（x），并判断f′（x）在定义域上的符号，从而证明f（x）在定义域上的单调性．

解答： 解：f（-x）=x+log2

1+x

1-x

=x-log2

1-x

1+x

=-f（x）；
∴f（-x）+f（x）=0；
∴（Ⅰ）f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0；
（Ⅱ）解

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1；
∴f′（x）=-1-

2

(1-x)(1+x)ln2

＜0；
∴函数f（x）在定义域上单调递减．

点评：考查对数的运算，函数定义域，以及通过求导，判断导数符号来判断函数单调性的方法．