Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得数列{a_n}是首项为a₁=1，公差为d=2的等差数列，由此求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，由T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立，得

m

20

≥

1

2

，由此能求出最小正整数m．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公差为d=2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
∵T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立，
∴

m

20

≥

1

2

，解得m≥10，
∴最小正整数m为10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小正整数m的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．