Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，面PAD⊥面ABCD，四边形BCDE为矩形∠PAD=60°，PB=2

3

，PA=ED=2AE=2．
（1）已知

PF

=λ

PC

（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；
（2）求证：CB⊥面PEB，并求点D到面PBC的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC交BE于点M，连接FM，运用线面平行的性质定理，得到PA∥FM，再由平行线分线段成比例，得到
λ的值；
（2）先求出PE=

3

，从而PE⊥AD，再由面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，即可证得CB⊥面PEB，设点D到面PBC的距离为d，由V_D-PBC=V_P-DBC，运用棱锥的体积公式，即可求得．

解答： （1）解：连接AC交BE于点M，连接FM，
∵PA∥面BEF，FM=面PAC∩面BEF，∴PA∥FM，
∵EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

，
∵PA∥FM，∴

PF

FC

=

AM

MC

=

1

2

．
∵

PF

=λ

PC

（λ∈R），
∴λ=

1

3

；
（2）∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
∴PE=

3

，∴PE⊥AD
又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥CB
又∴BE⊥CB，且∴PE∩BE=E，∴CB⊥面PEB，
设点D到面PBC的距离为d，由V_D-PBC=V_P-DBC，
得

1

3

×

1

2

×2×2

3

×d=

1

3

×

1

2

×2×3×

3

，
求得d=

3

2

．

点评：本题考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质定理，面面垂直的性质定理，同时考查等积法求点到平面的距离，平行线分线段成比例等，属于中档题．