Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+

4

3

（a，b是实数），且f′（2）=0，f（1）=

2

3

，f（x）在闭区间[t，t+3]上的最小值为g（t）（t为实数），
（Ⅰ）求实数a，b的值；        
（Ⅱ）当t∈[0，3]时，求g（t）的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用f′（2）=0，f（1）=

2

3

，即可求实数a，b的值；        
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，利用t∈[0，3]，分类讨论，即可求g（t）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，由

4+4a+b=0 1 3 +a+b= 2 3

------（4分）
得

a=-1 b=0

，------------------------------------（5分）
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-x2+

4

3

，
因为f'（x）=x²-2x=x（x-2），所以f（x）在（-∞，0）递增，（0，2）递减，（2，+∞）递增．---（7分）
可知f（2）=0，所以f(x)=

1

3

(x-2)2(x+1)，
即有f（-1）=0，结合图形，
（1）当t+3＜2，即t＜-1时，f（x）_min=f(t)=

1

3

t3-t2+

4

3

-------------------（8分）
（2）当2≤t+3，且t≤2，即-1≤t≤2时，f（x）_min=0-------------------------（9分）
（3）当t＞2时，f（x）_min=f(t)=

1

3

t3-t2+

4

3

-----------------------------------------（10分）
综上，g(t)=

1 3 t3-t2+ 4 3 ，t＜-1或t＞2 0，-1≤t≤2

----------------------------（11分）
若t∈[0，3]，则g（t）在[0，2]恒等于0，在[2，3]内单调递增，
可得 g(t)∈[0，g(3)]=[0，

4

3

]------------------------（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．