Question

如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=-2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，

5

km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．S_△ABC=S_△ABP+S_△APC=

1

2

?x?3+

1

2

?y?

5

=

1

2

（3x+

5

y），S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

，可得3

5

x+5y=2xy，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．
设AB=x，AC=y．
因为P到AM，AN的距离分别为3，

5

，
即PE=3，PF=

5

．
由S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
=

1

2

?x?3+

1

2

?y?

5

=

1

2

（3x+

5

y）．  ①…（4分）
因为tanα=-2，所以sinα=

2

5

．
所以S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

．  ②…（8分）
由①②可得

1

2

?x?y?

2

5

=

1

2

（3x+

5

y）．
即3

5

x+5y=2xy． ③…（10分）
因为3

5

x+5y≥2

15 5 xy

，所以 2xy≥2

15 5 xy

．
解得xy≥15

5

．                          …（13分）
当且仅当3

5

x=5y取“=”，结合③解得x=5，y=3

5

．
所以S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

有最小值15．
答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km²．…（16分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．